Wie schreibe ich die Summe aller ungeraden Zahlen bis zu einer beliebigen (!) Zahl n auf?
Die Frage mag simpel klingen, aber ich verzweifel gerade: Ich möchte, ganz algebraisch (also ohne: Fallunterscheidung, modulo, Gaußklammer etc.), alle ungeraden Zahlen bis zu einer oberen Grenze n aufsummieren und dies durch einen eleganten Ausdruck mit dem Summenzeichen ausdrücken.
Problem: Summe von k=0 bis k=n/2 über (2k+1) ist nicht definiert, falls n ungerade ist. (Analog für n gerade, falls man die obere Grenze auf k=(n+1)/2 festgelegt hat.)
Hinweis: Ich interessiere mich nicht für das Ergebnis, nur für die formelhafte Schreibweise.
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Meinst du vielleicht sowas…?
Das würde dann (zumindest für natürliche Zahlen n) passen.
Oh wow! Das ist schön!
Ich wollte auch “Oh wow!” antworten, haha! Danke, ja, GENAU DAS habe ich gesucht! Aber wie kommt man darauf, haha ? 😀 😀
n^2= summe der ersten n ungeraden zahlen
Frage dich doch:
Was ist 1+3?
Was ist 1+3+5?
Was ist 1+3+5+7?
…
Erkennst du ein Muster? Dann beweise es mit Induktion über n.
Das ist nicht die Frage, sondern wie man das aufschreibt. Ich benötige das letztlich in der Potenz.
Wie meinst du das? Du schreibst:
Summe über k von 1 bis n von (2k-1)=n²
Haha ja, etwas doof, dass die mathematische Klammer mit der deutschen sprachlichen Klammer kollidiert 😀
Die Klammersetzung kommt mir ein bisschen komisch vor, aber ja, ungefähr so sollte das Ergebnis aussehen. 😀
O ….. M…… G……. darauf sind wir nicht gekommen und wir haben 1 Stunde lang die kompliziertesten Überlegungen angestellt …….. xD
Joa, also damit wär das Problem wohl gelöst, haha 😀 (dann ist die Wahrscheinlichkeit halt (1-3^n)/6^n) …. aber ich will meinen anderen Gedanken nun noch zu Ende denken …. .:D 😀 😀
Berechne doch die Wahrscheinlichkeit, keine gerade Zahl zu haben. Dann ist 1- das deine Wahrscheinlichkeit. Das scheint mir auf den ersten Blick wesentlich einfacher, als deine Lösung. Oder willst du es unbedingt durch diese Summen finden?
Die ganze Aufgabe ist: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf von n Würfeln mindestens eine gerade Zahl zu haben? Dabei kam ich auf eine Formel, die jeweils für gerade und ungerade Potenzen anders gestaltete Summanden enthält.
Naja, anders wirst du wohl modulo oder ähnliches verwenden müssen. Wir kennen natürlich auch nicht die gesamte Aufgabe. Vielleicht würde es das einfacher machen.
Mmh, ja, das wäre wohl möglich, aber hilft mir nicht direkt weiter, weil ich das letztlich in etwas komplizierterer Form brauche (wie gesagt, als Potenz), und ich denke mal, da wird es mit dem Weiterrechnen dann etwas schwierig… aber danke für die Idee.
Achso, nun habe ich deine Frage erst verstanden. Das kannst du m.W.n. einfach mit Summe (dann schreibst du das folgende nur unten hinein)
2k-1≤n, k in N von 2k-1
Hatte ich auch zuerst gedacht, aber dann habe ich zu viele Terme leider. :/ (Die Summe geht dann ja bis 2n-1, obwohl sie nur bis n bzw. bis n-1 gehen soll, je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist.)