Wie löse ich diese beiden Aufgaben?

Der entscheidende Punkt bei Wurzeln aus einer komplexen Zahl z ist folgende Zerlegung:

z = |z| * [ cos(w) + i*sin(w) ]

|z| ist der Betrag von z, und w ist der Winkel von z auf dem komplexen Einheitskreis.

Für die n-te Wurzel aus z gilt dann:

z^(1/n) = |z|^(1/n) * [ cos(w/n) + i*sin(w/n) ]

Es gibt aber nicht nur diese eine Lösung, sondern für k = 0,1,2,…n-1 (also n Lösungen):

z^(1/n) = |z|^(1/n) * [ cos(w/n + 360°*k/n) + i*sin(w/n + 360°*k/n) ]

bzw. im Bogenmaß

z^(1/n) = |z|^(1/n) * [ cos(w/n + 2pi*k/n) + i*sin(w/n + 2pi*k/n) ]

a)

Die Zahl z = -7 liegt auf dem komplexen Einheitskreis auf dem Winkel 180° = pi (der negativen x-Achse). Die obige Umformung lautet dann:

z = |-7| * [ cos(pi) + i*sin(pi) ]

Die erste Lösung für die vierte Wurzel lautet dann

z0 = 7^(1/4) * [ cos(pi/4) + i*sin(pi/4) ]

Und alle vier Lösungen zk mit k = 0,1,2,3

zk = 7^(1/4) * [ cos (pi/4 + 2pi*k/4) + i*sin(pi/4 + 2pi*k/4) ]

b)

Die Zahl z = 9 + 11*i liegt auf komplexen Einheitskreis auf dem Winkel w = arctan(11/9).

|z| = sqrt(11² + 9²) = sqrt(202)

Die obige Umformung lautet dann:

z = sqrt(202) * [ cos(w) + i*sin(w) ]

Die erste Lösung für die dritte Wurzel lautet dann

z0 = sqrt(202)^(1/3) * [ cos(w/3) + i*sin(w/3) ]

Und alle drei Lösungen zk mit k = 0,1,2

zk = sqrt(202)^(1/3) * [ cos(w/3 + 2pi*k/3) + i*sin(w/3 + 2pi*k/3) ]