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Hallo,
die Tangente vom Schurken zum Helden hat die Gleichung y=mx+b.
Da der Schurke auf Punkt (30|52) steht, muß gelten:
52=30m+b und daher: b=52-30m.
m, die Steigung der Tangente, muß am Berührpunkt mit der Flugbahn des Helden auch die Steigung der Flugbahn dort sein. Außerdem müssen die Funktionswerte dort gleich sein.
Die Ableitung von f(x)=30e^(-x)+52 ist -3e^(-x).
Das ist gleich m in der Tangentengleichung.
Mit m=-3e^(-0,1x) und b=52-30m lautet die Tangentengleichung
y=-3e^(-0,1x)*x+52+90e^(-0,1x).
Das muß mit 30e^(-0,x)+52 gleichgesetzt werden, wobei sich die 52 auf beiden Seiten schon mal aufhebt. Es bleibt 30e^(-0,1x)=-3e^(-0,1x)*x+90e^(-0,1x).
Substitution u=e^(-0,1x) ergibt 30u=-3ux+90u und somit 60u=3ux und daher x=20.
Bei x=20 befindet sich daher der Berührpunkt.
Setzt Du diesen Wert in 30e^(-0,1x)+52 ein, kommst Du auf den dazugehörigen Funktionswert 56,06.
Herzliche Grüße,
Willy
Wow danke. Und wie mache ich die c? Ich dachte an den Punkt q und r als Bedingungen ich bekomme es aber nicht hin
Zwei Punkte, zwei Gleichungen, zwei Unbekannte. Paßt.
b*a^70+60=0 ist die eine Gleichung, die Du nach b auflösen kannst:
b=-60*a^(-70).
Einsetzen in die andere Gleichung b*a^40+60=52,55 führt zu a. Ist a bekannt, kann b leicht über die Bestimmungsgleichung für b ermittelt werden.
Vielen Dank für den Stern.
Willy
Da steht dann -60a*(a^-70)*a^(40)+60=52,55.
Zusammengefaßt -60a^(-30)=-7,45 und nach Teilen durch -1:
60a^(-30)=7,45
a^(-30)=7,45/60
-30*ln(a)=ln(7,45/60)
ln(a)=ln(7,45/60)/-30 bzw. gleich ln(60/7,45)/30, wenn das Minus stören sollte.
Nun alles in die Potenz von e erheben:
a=e^(ln(60/7,45)/30)=1,072012459
Das ist alles nichts weiter als die Anwendung von Rechenregeln, die man in der Schule gelernt haben sollte.
Und eine Frage zur c)
Da steht jetzt im 2. Schritt b*a^40+60=52,55
Aber wie bekomme ich a raus wenn ich b einsetze? Dann steht da 60*a^(-70)*a^40
Steht doch in der Antwort. Der liegt bei x=20. Den y-Wert dazu kannst Du selbst ausrechnen. Einfach f(20) bestimmen.
Und was ist der berührpunkt?
Die Steigung der Geraden muß doch gleich der Steigung, also der Ableitung der Funktion am Berührpunkt sein.
Danke. Und woher kommt man dadrau, dass m=-3e^(-0,1x)?
Hast du da was eingesetzt?
Zur Kontrolle: a=1,072012459; b=-0,4614907167