Wie kann man beweisen, dass das Calciumfluoridgitter eine Würfelform hat?

Mir ist nicht klar, was Du willst.

Wenn man irgendetwas zeigen oder ausrechnen soll, dann muß irgendetwas gegeben sein. Was hast Du gegeben? Nur eine Zeichnung ist zu wenig.

Hast Du vielleicht Koordinaten gegeben? Die kann man sogar aus der Zeichnung mit ein bißchen Geometrie (und Verständnis der Symmetrie) herausdestillieren. Die Ele­men­tar­zelle enthält die folgenden Atome (ich setze die Elementarzelle als Würfel mit der willkürlich ge­wähl­ten Kantenlänge 2 an):

• Ein Ca-Atom sitzt an den Koordinaten (1|1|1)
• Ein anderes an den Koordinaten (1|0|0)
• Ein F-Atom sitzt in der tetraedrischen Lücke (½|½|½)

Die Koordinaten der restlichen Atome bekommst Du, indem Du nach Belieben nega­tive Vorzeichen hineinzauberst oder die Koordinaten vertauscht. Insgesamt kriegst Du dann

• Acht Ca-Atome an den Ecken: (1|1|1), (1|1|−1), …, (−1|1|−1), …, (−1|−1|−1)
• Sechs C-Atome an den Flächen: (1|0|0), (−1|0|0), (0|1|0), (0|−1|0), …
• Acht F-Atome im Inneren: (½|½|½), (½|½|−½), …, (−½|½|−½), …, (−½|−½|−½)

Mit diesen Koordinaten kannst Du alles Mögliche zeigen, z.B. daß die Elementarzelle würfelförmig ist, daß jedes Ca-Atom würfelförmig von 8 F-Atomen umgeben ist, oder daß die Summen­formel CaF₂ ist. Etwas schwieriger aber auch möglich ist es, zu zei­gen, daß jedes F-Atom, z.B. (½|½|½), von vier Ca-Atom, in diesem Fall (1|1|1), (1|0,0), (0|1|0) und (0|0|1), in perfekt tetraedrischer Form umgeben ist. Und ja, es gibt sehr viele rechte Winkel in dieser Elementarzelle.

Das Problem ist nur, daß ich keine Ahnung habe, ob diese Vorgangsweise das ist, was man von Dir erwartet. Mir kommt es geschummelt vor, weil Du ja mit der Zeichnung beginnst und die Koordinaten unter der Annahme einer kubischen Kristallsymmetrie daraus extrahierst, um dann pseudo-triumphal zu zeigen, daß der Kristall kubisch ist.

Die richtige™ Lösung für Dein Problem lautet natürlich, daß Du einen CaF₂-Einkristall kristallographierst, und aus dem Beugungsbild bekommst Du dann mit ein bißchen Fourier-Akrobatik ohne schwin­de­lige Annahmen genau diese Koordinaten, aus denen Du alles weitere ableiten kannst.