Wie kann ich folgendes zeigen?
f : X → Y
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Ich würde die Äquivalenz zeigen, indem ich diese in zwei Implikationen zerlege…
1. Richtung:
2. Richtung:
… und diese Implikationen zeige.
====== Beweis zur 1. Richtung ======
Sei f: X → Y eine Abbildung, so dass f⁻¹(f(A)) ⊆ A für alle Teilmengen A ⊆ X ist.
Für alle x₁, x₂ ∈ X mit f(x₁) = f(x₂) ist f(x₁) ∈ f({x₂}) und damit dann x₁ ∈ f⁻¹(f({x₂})), wobei offensichtlich {x₂} ⊆ X ist, weshalb nach Voraussetzung dann x₁ ∈ {x₂} ist, woraus dann x₁ = x₂ folgt. Dementsprechend ist f dann injektiv.
====== Beweis zur 2. Richtung ======
Sei f: X → Y eine injektive Abbildung.
Sei nun A ⊆ X eine beliebige Teilmenge. Für alle p ∈ f⁻¹(f(A)) ist f(p) ∈ f(A), sodass es ein a ∈ A mit f(p) = f(a) gibt. Mit der Injektivität von f folgt dann p = a, sodass wegen a ∈ A dann auch p ∈ A ist. Da für alle p ∈ f⁻¹(f(A)) auch p ∈ A ist, folgt f⁻¹(f(A)) ⊆ A.
Sei x aus f^(-1)(f(A)). Dann existiert ein y aus f(A) mit f(x) = y. Da y aus dem Bild f(A) stammt, existiert ein z aus A mit y = f(z). Wegen der Injektivität von f folgt wegen f(x) = y = f(z) automatisch x = z, x ist somit aus A.
Die andere Richtung ist trivial.
Naja die
Hin-Richtung:
Angenommen f^-1(f(A)) ist Teilmenge von A. Für alle A c X.
Außerdem nehmen wir mal an, f wäre nicht injektiv, also gibt es x1≠x2 mit f(x1)=f(x2). Dann gilt aber: f^-1(f({x1}))={x1,x2}, was keine Teilmenge von X ist. Also haben wir einen Widerspruch, f muss injektiv sein.
Andersherum sei f injektiv.
Angenommen es gäbe ein A, sodass f^-1(f(A)) keine Teilmenge von A ist.
Das heißt: Es gibt ein x in f^-1(f(A)), welches nicht in A liegt.
Und damit gibt es ein x sodass es ein a in A gibt mit f(x)=f(a). Da aber x nicht in a liegt, gilt x≠a => f ist nicht injektiv. Das ist der Widerspruch, den wir suchen.