Wie bilde ich die Grenzwerte bei diesen beiden Aufgaben?
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b)
lim(Δx→0) (e^Δx – 7 * Δx) =
lim(Δx→0) e^Δx – lim(Δx→0) – 7 * Δx =
1 – 0 =
1
Hallo,
a) geht gegen e^13.
Wandle in e^(ln((1+13/x)^x)) um und zieh den Limes in den Exponenten.
Da ln ((1+13/x)^x)=x*ln(1+13/x), kannst Du das umschreiben zu
ln (1+13/x)/(1/x).
Da sowohl Zähler als auch Nenner gegen 0 gehen bei x gegen unendlich, darf man hier die Regel von de l’Hospital anwenden, indem man Zähler und Nenner getrennt ableitet und den Grenzwert dieses Ergebnisses bestimmt.
Ableitung des Zählers ist -13*(1/x²)*1/(1+13/x).
Ableitung des Nenners ist -1/x².
-1/x² läßt sich kürzen.
Es bleibt 13/(1+13/x).
Da 1+13/x gegen 1 geht, geht 13/(1+13/x) gegen 13.
Das war der Limes des Exponenten von e.
Limes des kompletten Ausdrucks ist damit e^13, etwa 442413,392.
Herzliche Grüße,
Willy
Bei a musst du erstmal sehen, dass es keinen grenzwert gibt, sondern dass y bestimmt divergiert
Bestimmt?
So bestimmt wie ein Wahlversprechen.
Angesichts der Tatsache, dass e als Grenzwert von (1 + 1/x)^x definiert ist, würde mich das wundern.
(Heutzutage wird gern die Taylor-Reihe von e^x für x = 0 als Definition betrachtet.)