Welche dieser Redoxreaktionen ist richtig und warum?

Soweit ich sehen kann, sind beide Deiner Gleichungen näherungsweise richtig. Sie ent­halten jedoch einige Fehler, die nichts mit dem Redoxgeschehen zu tun haben, son­dern mit Säure–Base-Reaktionen, die unter diesen Bedingungen notwendiger­weise ablaufen:

• In der ersten schreibst Du als Produkte HNO₃ und OH¯ an, das ist jedoch Unsinn, weil das sofort zu NO₃¯ und H₂O weiterreagiert — HNO₃ ist ja eine starke Säure, die dem armen OH¯ sofort ein H⁺ auf die Nase drückt.
• In beiden Gleichungen kommt aber noch ein ähnlicher Fehler vor: CO₂ ist ja das Anhydrid der Kohlensäure, und kann sich in alkalischer Lösung folglich nicht bil­den. Stattdessen würde es mit 2 OH¯ zu CO₃²¯ + H₂O reagieren.
• Auch die Ameisensäure würde unter diesen alkalischen Bedingen in deprotonier­ter Form, also als Formiat HCO₂¯, vorliegen.
• Zuletzt liegt unter diesen Bedingungen das Silber als Diaminsilber-Kation vor, und das Nitrat tut überhaupt nichts und sollte daher in der Reaktionsgleichung gar nicht auftreten.

Folglich ist die beste Art, diese Reaktion aufzuschreiben, die folgende:

HCO₂¯ + 2 [Ag(NH₃)₂]⁺ + 3 OH¯ ⟶ CO₃²¯ + 2 Ag + 4 NH₃ + 2 H₂O

aber das betrifft nur sekundäre Reaktionen; der Redoxteil ist in Deinen Gleichungen soweit richtig angeschrieben, und aher stimmt auch in allen Varianten das zentrale Element überein, daß man zwei Ag⁺-Ionen zur Oxidation eines Ameisensäure- bzw. Formiatmoleküls benötigt.

P.S.: Reaktionsgleichung entgurkt.