Was ist ein Punkt?

Das hängt vom Kontext ab.

In der Geometrie (als Teilgebiet der Mathematik) führt man Punkte als Bestandteile von geometrischen Strukturen ein. Was ein Punkt wirklich ist, hat dabei erstmal keine Bedeutung, sondern nur, welche Eigenschaften er hat und vor allem, in welchem Zusammenhang er mit anderen Bestandteilen der Struktur hat.

Hat man das axiomatisch geklärt, dann schaut man sich bestimmte Realisationen dieser geometrischen Strukturen an, dann werden Punkte konkrete Objekte.

Beispiel: Es gibt sogenannte affine Ebenen. Eine affine Ebene besteht aus zwei Mengen, einer Menge der Punkte und einer Menge der Gerade und Beziehungen zwischen diesen beiden Mengen (“Punkt lieg auf Gerade” und “Gerade geht durch Punkt”) wie folgt:

• Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade
• Zu jeder Geraden g und jedem Punkt p, der nicht auf g liegt, gibt es eine Gerade h, die durch p geht, aber durch keinen Punkt geht, durch den auch g geht.
• Es gibt mindestens drei Punkte, durch die keine gemeinsame Gerade geht.

Was Punkte und Geraden praktisch SIND, interessiert zu diesem Zeitpunkt noch gar nicht.

Jetzt nimmt man z. B. den zweidimensionalen Raum und schaut sich dabei Objekte an, nulldimensionale und eindimensionale, wenn man das dann richtig macht, kann man zeigen, dass diese Objekte dann die obigen Axiome erfüllen – und dann man die einen Punkte und die anderen Geraden.

So wird das in der Mathematik axiomatisch gemacht.

Die anderen Umschreibungen wie “hat keine Ausdehnung”, “ist unendlich klein” etc. sind letztlich nicht wirklich exakt.