Was hat es für einen Nutzen, wenn eine Algebra nicht kommutativ ist?

Naja. Was heißt da „Nutzen“? Es geht weniger darum, dass die Algebra deswegen mehr oder weniger nützlich ist, wenn sie nicht-kommutativ ist.

Es ist nun einmal einfach so, dass es Algebren gibt, die nun einmal nicht-kommutativ sind, und die man aber auch gerne betrachten möchte. (Weil sie eben für sich genommen in gewissen Kontexten nützlich sind.) Beispielsweise die Algebra der n×n-Matrizen über einem Körper.