wann wiederholen sich die nachkommastellen von der Lösung der gleichung x²=2?

Sei x ein rationale Zahl p/q, wobei p und q natürliche Zahlen sind. Weiterhin ist p/q ein maximal gekürzter Bruch.

x² = (p/q)² = 2.

Damit p² = 2q². Wir wissen also, dass p² durch 2 teilbar ist, da p² = 2 * q². Damit teilt 2 p², p² ist gerade. Wenn p² gerade ist, ist auch p gerade. Sei p = 2r.

Aus p = 2r folgt p² = 4r². Weiterhin ist p² = 2q². Das setzen wir gleich mit 4r² = 2q², bzw. 2r² = q². q² und damit q sind also auch gerade. Sei q = 2s.

Damit p/q = 2r/2s. Daher ist p/q kein maximal gekürzter Bruch. Widerspruch. Bzw. anders ausgedrückt: Wurzel kann nicht als Bruch dargestellt werden. Selbst wenn man einen nicht gekürzten Bruch darstellen wollen würde, würde bei Primfaktorzerlegung es immer daran scheitern, dass man das p (bzw. alle Primfaktoren) im Zähler bzw. das q (bzw. alle Primfaktoren) im Nenner nie finden könnte. Und jede rationale Zahl kann durch Primfaktoren im Zähler und Primfaktoren im Nenner beschrieben werden. Wurzel 2 offenbar nicht.

Jede Periode kann man als Bruch darstellen, wobei im Nenner sich die Periodenlänge in der Mindestanzahl an aufeinanderfolgenden Neunen wiederfindet. Damit sind auch Perioden als Primfaktoren in Zähler und Nenner darstellbar.