Inequalities in series?
Let a_n and b_n be sequences in {0,1}.
If the series Σ 2a_n / 3^n < Σ 2b_n / 3^n
fulfill, it follows
Σ a_n / 2^n < Σ b_n / 2^n ?
If so, can anyone prove it to me?
(2 votes)
Loading...
(2 votes)Loading...
Nein. Beispiel…
In diesem Fall ist…
Also ist zwar einerseits…
… aber andererseits…
===========
Anschaulich… Im Stellenwertsystem zur Basis 3 ist zwar…
Aber im Stellenwertsystem zur Basis 2 ist…
============
Genau wegen sowas ist die surjektive Abbildung…
…, die man gerne mal zum Vergleich der Cantor-Menge mit dem reellen Intervall [0, 1] betrachtet, nicht injektiv.
Siehe beispielsweise auch:
https://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Menge#0-1-Folgen
====== Ergäznung zum Kommentar ======
Etwas allgemeiner gehaltene Vorbemerkung:
Mit dieser Vorbemerkung folgt dann im vorliegenden Fall aus
dass es ein m ∈ ℕ mit
gibt, sodass dann
ist. Bzw., da a_m, b_m ∈ {0, 1} insbesondere ganze Zahlen sind, ist dann wegen a_m < b_m auch
Damit ist dann…
Aber ist das dann nicht ein Widerspruch dafür, dass die Cantor-Funktion monoton steigend ist?
Die Einschränkung auf C ist ja definiert als
x |—> Σ b_n / 3^n
für x = Σ 2b_n / 3^n ∈ C mit b_n ∈ {0,1}.
Doch die Funktion wäre ja dann nicht monoton wachsend… Denn dafür müsste ja für x,y ∈ C mit x < y dann f(x) ≤ f(y) folgen, was ja gerade das ganze ist…
Die Funktion ist ja auch monoton wachsend. Dem habe ich nirgends widersprochen.
Bei dem „monoton wachsend“ muss ja auch nur f(x) ≤ f(y) [mit einem kleiner oder gleich] statt der strikten Ungleichung f(x) < f(y) für alle x, y mit x < y erfüllt sein.
Das Gegenbeispiel zeigt nur, dass man nicht f(x) < f(y) folgern kann, da auch f(x) = f(y) sein kann.
Die Funktion ist monton steigend, aber sie ist nicht streng monoton steigend.
Danke sehr! 🙂
Ich habe am Ende meiner Antwort einen entsprechenden Beweis ergänzt.
Wie kann man das aber zeigen, dass sie in C monoton wachsend ist? Also warum folgt für x = Σ 2b_n / 3^n < Σ 2c_n / 3^n = y dann aber f(x) = Σ b_n /2^n ≤ Σ c_n / 2^n = f(y) bzw. wie kann man das zeigen?
Ja
Kannst du es auch beweisen?
Du kannst einfach die zwei rausziehen.
Kein Problem 🙂
Danke trotzdem
Stimmt! Das habe ich nicht gesehen. Sorry.
Ja aber das bringt nichts. Das sind ja verschiedene Reihen wegen dem Nenner