Schnellste Möglichkeit Raumdiagonalen zu bestimmen?

Für die Raumdiagonalen müssen wir die Koordinaten der Schnittpunkte der Diagonalen 𝐴𝐶𝐺

ACG und 𝐵𝐷𝐹

BDF berechnen. Zunächst berechnen wir die Vektoren für die Diagonalen:

1. Raumdiagonale 𝐴𝐶𝐺
2. ACG:
3. 𝐴𝐺→=𝐺−𝐴=(2,10,8)−(2,1,−1)=(0,9,9)
4. AG
5. =G−A=(2,10,8)−(2,1,−1)=(0,9,9)
6. Parametrische Form von 𝐴𝐶𝐺
7. ACG:
8. 𝑟1(𝑡)=(2,1,−1)+𝑡(0,9,9)
9. r1
10. ​(t)=(2,1,−1)+t(0,9,9)
11. Raumdiagonale 𝐵𝐷𝐹
12. BDF:
13. 𝐵𝐹→=𝐹−𝐵=(4,6,4)−(6,4,−2)=(−2,2,6)
14. BF
15. =F−B=(4,6,4)−(6,4,−2)=(−2,2,6)
16. Parametrische Form von 𝐵𝐷𝐹
17. BDF:
18. 𝑟2(𝑠)=(6,4,−2)+𝑠(−2,2,6)
19. r2
20. ​(s)=(6,4,−2)+s(−2,2,6)

Nun setzen wir die beiden parametrischen Gleichungen gleich:

(2,1,−1)+𝑡(0,9,9)=(6,4,−2)+𝑠(−2,2,6)

(2,1,−1)+t(0,9,9)=(6,4,−2)+s(−2,2,6)

Das ergibt das Gleichungssystem:

2=6−2𝑠

2=6−2s

1+9𝑡=4+2𝑠

1+9t=4+2s

−1+9𝑡=−2+6𝑠

−1+9t=−2+6s

Lösen wir das System:

1. Aus der ersten Gleichung: 𝑠=2
2. s=2
3. Einsetzen in die zweite Gleichung: 1+9𝑡=4+4⇒𝑡=1
4. 1+9t=4+4⇒t=1
5. Überprüfung mit der dritten Gleichung: −1+9(1)=−2+6(2)⇒8=8
6. −1+9(1)=−2+6(2)⇒8=8 (stimmt)

Der Schnittpunkt ist also:

𝑟1(1)=(2,1,−1)+1(0,9,9)=(2,10,8)

r1

​(1)=(2,1,−1)+1(0,9,9)=(2,10,8)

Die Raumdiagonalen schneiden sich im Punkt (2,10,8)

(2,10,8).