Calculation with quadratic completion?
Hello, I'm writing a math test soon and for it I need to know how to complete the square.
Now I have an exercise that I have to calculate:
f(x)=2x^2+ 8x+5
My vertex shape looked like this:
f(x)=2(x+2)^2 +6
I checked my result with an AI.
However, she said that
f(x)=2(x+2)^2 -3
is the right answer.
I'm asking for help. For an overview. I did the quadratic addition with two, and the AI with four. Maybe someone can help me.
MFG CROWD
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Du kannst ganz einfach überprüfen wer recht hat. Es ist f(0) = 5. Bei deiner Funktion kommt f(0) = 14 heraus, bei der KI f(0) = 5. Was also wird wohl richtig sein?
2 ausklammern ergibt f(x) = 2(x² + 4x) + 5. Nun
https://studyflix.de/mathematik/quadratische-ergaenzung-1897
Dein b ist hier 2 und b² demzufolge 4.
Hallo,
-3 am Ende ist richtig.
Zunächst klammerst Du die 2 aus:
2(x²+4x)+5.
Nun ergänzt Du den Ausdruck in der Klammer durch 4 (also (-4/2)², wobei 4 die Zahl vor dem x ist) zu einem vollständigen Binom. Diese ergänzte Zahl mußt Du allerdings sofort wieder abziehen, um den Term insgesamt nicht zu verändern. Da die ergänzte Zahl 4 in einer Klammer steht, vor der der Faktor 2 ist, mußt Du nicht 4, sondern 8 abziehen:
2(x²+4x+4)-8+5.
Nun noch die Klammer mit Hilfe der ersten binomischen Formel umwandeln und die beiden Zahlen außerhalb der Klammer zusammenfassen:
2*(x+2)²-3.
Herzliche Grüße,
Willy
Eine Probe kann man rechnen, indem man die Klammer der Scheitelpunktform auflöst und prüft, ob die ursprüngliche Funktion dabei herauskommt oder indem man ein zuverlässiges Online-Programm verwendet (z.B. wolframalpha). ChatGPT gehört nicht dazu.
Wandeln wir doch einfach mal dein Ergebnis wieder um, sodass wir die Ausgangsformel wieder erhalten:
f(x)=2(x+2)^2 +6
f(x) = 2(x² + 4x + 4) + 6
f(x) = 2x² + 8x + 8 + 6
Jetzt kannst du den Fehler schon erkennen:
f(x) = 2x² + 8x + 8 + 6
f(x) = 2x² + 8x + 14
Ersetzt du nun + 6 mit – 3, dann erhältst du die Ausgangsformel:
f(x) = 2x² + 8x + 8 – 3
f(x) = 2x² + 8x + 5
Folglich lautet die richtige Lösung:
f(x)=2(x+2)^2 -3
f(x)=2x^2+ 8x+5
f(x)=2(x^2+ 4x)+5
f(x)=2(x^2+ 4x+4-4)+5
f(x)=2(x^2+ 4x+4)-8+5
f(x)=2(x^2+2)²-3