Optimierungsaufgabe lösen?
Es handelt sich um Nummer 2.
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Hallo,
Nebenbedingung sind die 400 m Laufbahn.
Wenn Du die Längsseiten des Rechtecks a und die Breitseiten b nennst, setzt sich die Laufbahn aus 2a und zwei Halbkreisen mit Radius b/2 zusammen.
Zwei Halbkreise sind ein Kreis. Umfang des Kreises ist 2*pi*r, hier also 2*pi*b/2, was pi*b ergibt.
Innenbahn daher 2a+pi*b=400.
Dann ist 2a gleich 400 minus pi*b und a gleich 200 minus pi*b/2.
Fläche des Rechtecks, die maximiert werden soll, ist a*b.
Da a gleich 200-pi*b/2, ist die Fläche 200b-pi*b²/2.
Ableiten ergibt f'(b)=200-pi*b.
Gleich Null setzen ergibt 200=pi*b und somit b=200/pi.
Da pi*b=200, ist pi*b/2=100 und a ist somit gleich 200-100=100.
Die maximale Fläche ergibt sich somit für a=100 und b=200/pi.
Herzliche Grüße,
Willy
Ja, genau. Wenn du mit l die Länge und b die Breite des Spielfelds bezeichnest, dann ist dessen Fläche l * b zu maximieren. Die Nebenbedingung ist die Länge der Bahn, und die ist 2 * l + b * Pi = 400. Löse das nach l oder nach b auf (ganz nach deinem persönlichen Geschmack), setze das in die Gleichung für die Fläche ein und suche das Maximum durch Nullsetzen der Ableitung.
“ja , genau” kannst du Dinge lesen , die ich nicht sehe ?
Optimierungsaufgabe lösen?
Hauptbedingung
Spielfeld mit Größe Breite*Höhe
A(a,b) = b*h
.
Nebenbedingung
Umfang der Laufmasche mit 400 m
Die Bahn besteht aus 2 mal Breite und einem ganzen Kreisumfang mit r = h/2
400 = 2*b + 2pi*(h/2)
400 = 2b + pi*h
Stell um auf was du willst
Damit pi nicht zu einem Nenner wird , wähle ich
(400 – pi*h)/2 = b und setze ein
.
A(h) = (400 – pi*h)/2 * h
= 200 h – 0.5*pi*h²
was ich gerne ableite
A'(h) = 200 – pi*h
und gleich Null setze
pi*h = 200
h = 200/pi