Nutzenmaximierungsproblem. Wie setze ich richtig ein?
Hallo,
folgende Aufgabe:
Hierfür nutze ich die Lagrange-Methode. Nachdem ich die partiellen Ableitungen berechnet habe, wusste ich aber nicht mehr weiter. Egal, ob ich nach Lambda, nach x1/x2 auflöse, das in die Nebenbedingung einsetze um m zu berechnen oder sonst was, ich kriege keinen Term, bei dem ich sowohl ein m als auch ein lambda drinnen stehen habe. Dementsprechend komme ich auch auf kein Ergebnis, bei dem die optimierte Nutzenfunktion partiell nach m abgeleitet Lambda ergeben kann. Kann mir hier jemand weiterhelfen? Welche Schritte muss ich machen?
Meine partiellen Ableitungen:
nach Lambda umgestellt wäre Lambda = 1/(4+4×1) bzw 1/(12+12×2)
nach x1 bzw x2 umgestellt kommt folgendes raus:
Wie muss ich weiter rechnen? vielen Dank!
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f(x,y) = 1/2 ln(1 + x) + 1/4 ln(1 + y)
Nebenbedingung g(x,y) = 2x + 3y – m = 0
L(x,y,λ) = f(x,y) + λ*g(x,y)
L(x,y,λ) = 1/2 ln(1 + x) + 1/4 ln(1 + y) + λ(2x + 3y – m )
(a) L’dx = 2λ + 1/(2x+2) = 0
(b) L’dy = 3λ + 1/(4y+4) = 0
(c) L’dλ = 2x + 3y – m
λ eliminieren:
3*(a) – 2*(b):
3/(2x+2) – 2/(4y+4) = 0
3 – 2(2x+2)/(4y+4) = 0
3(4y+4) – 2(2x+2) = 0
12y + 12 – 4x – 4 = 0
3y + 2 – x = 0
Zusammen mit (c) ergibt das die Lösung
x = (m+2)/3, y = (m-4)/9
Setze deine Ausdrücke für x1 und x2 in die dritte Gleichung ein und löse nach lambda auf,
lambda = 3 / ( 4(m + 5) )
x1 = (m+3)/2
x2 = (m-4)/9