[Mathe] Verhalten einer e-Funktion deuten?
Guten Abend,
ich kann die verschiedenen Arten von e-Funktionen anhand eines Funktionsterm erkennen, nur würde ich gerne den folgenden Satz in der Lösung verstehen: „An der Funktion h(x) = a * e^(-x) + b erkennt man an der Hochzahl der e-Funktion, dass es eine waagerechte Asymptote für x -> + unendlich existiert.“.
Wieso erkennt man an der Funktion (ohne das Verhalten der e-Funktionen auswendig zu wissen), dass es eine waagrechte Asymptote für x -> + unendlich gibt? Kann mir das jemand erklären?
Die Aufgabe an sich verstehe ich, nur würde ich gerne den Lösungssatz verstehen bzw. wissen, ob man es ohne das Verhalten der e-Funktionen auswendig zu wissen erkennen kann, in welche Richtung es eine (waagrechte) Asymptote gibt.
Ich freue mich über eure Hilfe.
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h(x) = a * e^(-x) + b
kann man auch so schreiben:
h(x) = a/e^x + b
..und das betrachten wir näher:
für x -> ∞ wird e^x auch unendlich. Irgendwas geteilt durch unendlich ergibt 0, womit nur noch b stehen bleibt. Für x -> +∞ wird die Funktion also zu:
h(x) = b und das ist eine waagrechte Asymptote bei y = b.
Gegenbetrachtung:
für x -> -∞ wird h(x) = a * e^(-x) + b zu:
h(x) = a * e^∞ + b = ∞ oder je nach Vorzeichen von a auch = -∞
auch das trifft auf B und nicht auf A zu.
Der Term a * e^(-x) = a/(e^x) geht für x → unendlich gegen 0 (Den Grund wirst du wissen?!). Wohin geht also h(x) für x → unendlich ?