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Ableitungen, Anfang?

ByFlo162728281

Hey, ich habe mich heute zum aller ersten Mal mit Ableitungen befasst und hätte diesbezüglich paar Fragen. Diese könnten jedoch sehr dumm erscheinen… (bin halt noch am Anfang der Materie xd).   Erstmal zum limes. Ich habe gelesen, dass wenn man beispielsweise die Fuktion f=2 hat und theoretisch x -> 2 laufen lassen würde, dass…

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ChrisGE1267
ChrisGE1267
4 months ago

Da der Logarithmus eine injektive Funktion ist, ist Logarithmieren der jeweiligen Gleichung mit dem Logarithmus zur relevanten Basis eine Äquivalenzumformung – danach dann die Logarithmen-Gesetze anwenden:

(a)

7^(2x) = 2, also log_7(7^(2x)) = log_7(2), somit 2x*log_7(7) = log_7(2), daher

2x*1 = log_7(2), schliesslich x = 1/2*log_7(2)

(b)

10^(x^2) = 100, also 10^(x^2) = 10^2, somit x^2 = 2, schliesslich x = +/- Sqrt(2),

hier braucht man nicht einmal zu logarithmieren, da die Exponentialfunktion injektiv ist und man das Ergebnis direkt durch Vergleich der Exponenten ablesen kann.

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Rhenane
Rhenane
4 months ago

Steht das x im Exponenten, bekommst du dieses (bzw. den gesamten Exponenten) durch Logarithmieren zur Basis der zugehörigen Potenz “nach unten”:

7^(2x)=2 |logarithmieren zur Basis 7 (log7)
log7(7^(2x))=log7(2) |Log-Regel: log(a^b)=b*log(a)
2x * log7(7) = log7(2) |:2 und: log7(7[^1])=1
x=1/2 * log7(2)

10^(x²)=100 |logarithmieren zur Basis 10 (oder direkt erkennen, dass man rechts den Wert mit gleicher Basis wie links notieren kann (100=10²)
log10(10^x²)=log10(100) |log10(100)=log10(10²)=2
x²*log10(10)=2 |Wurzel ziehen
x=+/- Wurzel(2)

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Euphoreon1980
Euphoreon1980
4 months ago

Mit dem Logarithmieren bringst Du “das x auf die andere Seite”.

7^2x = 2

<=>

2x = log_7 2

<=>

x = 1/2 * log_7 2

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