Kugel gleitet auf Gerade?
Der Mittelpunkt einer Kugel mit dem Radius r = 4 bewegt sich auf einer Geraden g durch die Punkte A = (47, 16, 44) und B = (7, -4,4). В liegt in der Ebene F mit 3x + 4y = 5.
Die Kugel gleitet auf der Geraden g von A aus in Richtung B, bis sie die Ebene F berührt. Bestimmen Sie den Mittelpunkt der Kugel sowie den Berührungspunkt zur Ebene F.
Ich habe den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene berechnet (7, -4, 4), dann aber bemerkt, dass mich das nicht weiter bringt, weil die Kugel die Ebene schon davor berührt.
Nachfolgend die Lösung:
Ich habe schliesslich auf die Lösung geschaut, werde daraus aber auch nicht schlauer.
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Mit der Lösung kann ich auch nicht viel anfangen. Was soll der „Schittkreis“ sein?
Ich würde die beiden Ebenen 3x+4y=5±4·5 (links und rechts von F mit Abstand 4) mit g schneiden. Der Schnittpunkt, der näher an A liegt, ist der richtige.
Die Lösungen wurden anscheinend vertauscht, ich habe nun die richtigen. Aber deine Vorgehensweise mit 5±4·5 finde ich durchaus interessant, wie kommst du auf 4*5?
Der Normalenvektor (3, 4, 0) hat die Länge 5. Die HNF ist damit 3/5x+4/5y=1. Rechts steht der Abstand zum Ursprung, den man um ±4 ändern muss.
Ich habe die Gleichung nur mit 5 multipliziert, um die Brüche loszuwerden.
Upps, ich meinte „Schnittkreis“.
So wie ich das verstehe brauchst du nur den schnittwinkel der Geraden mit der ebene berechnen. Damit bildet sich ein rechtwinkliges Dreieck zwischen Schnittpunkt (B), Mittelpunkt der Kugel und berührpunkt der Kugel mit der ebene, von dem du eine Seite hast (radius der Kugel als gegenkathete) und den gegenüberliegenden Winkel (schnittwinkel g und F). Damit kannst du dann die Lage des Mittelpunkts mit trigonometrie errechnen.