Konvergiert die Reihe k/(1+k^2)?
Hallo, ich bin gerade am Stoff wiederholen und komme einfach nicht auf eine vernünftige Lösung für die obige Reihe. Kann mir da jemand helfen?
Eine zweite Aufgabe die ich nicht so recht lösen kann ist die: zeigen sie dass das folgende integral endlich ist: integral von 0 bis unendlich von sin(x)/x dx
mein Ansatz ist dass ich das integral erstmal von 0 bis 1 und 1 bis unendlich aufteile, aber irgendwie komme ich trotzdem nicht weiter
Danke!
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The series you have given diverge, as you can re-form it so that it majorizes the divergent harmonic series.
The integral indicated by you is the so-called dirichlet integral. This can be solved with Feynman’s trick by
, I(t) is derived after t, the derivation is twice partially integrated, then again integrated after t, and the integral I(t) is evaluated in the position t=0:
https://www.youtube.com/watch?v=ZccxuOpb4k
Thank you.
However, I would still have a question, how can we re-form the series so that it majorizes the harmonic series. I mean k/(1+k^2) < k/k^2=1/k
if then, then the harmonic series is a majorante. And the harmonic series diverges, so you can’t say anything
That’s it.
sum k/(1+k^2) = sum 1/((1/k) + k) > sum 1/(k + k) = 1/2 sum 1/k,
da 1/k < k for all k>2
k / (1 + k^2) = k / (k * (1 / k + k)) = 1 / (1 / k + k)
And that converges against zero.
The series of k/(k+1) diverges if you really mean the series, so the sum of the expressions. If you mean the episode, it converges.
And how do I prove this with the series? In addition, k^2 is k/(1+k^2) and not k/(k+1)