Ist Wurzel aus 2 die kleinste positive irrationale Zahl?
Das ist die Aufgabe . Wenn es falsch ist soll man ein Gegenbeispiel nennen.
vielen Dank im voraus
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In der Standard-Analysis gibt es keine kleinste positive, irrationale Zahl, da die irrationalen Zahlen dicht in R liegen, also auch dicht um 0.
Als Gegenbeispiel zu Deiner Behauptung nimmt man einfach 0 < Sqrt(2)/2 < Sqrt(2).
Es gibt zu jeder irrationalen Zahl a > 0 eine irrationale Zahl a’ mit 0 < a’ < a.
Ein möglicher Beweis:
Bilde die unendliche Dezimaldarstellung der irrationalen Zahl a
Dann ist
eine irrationale Zahl mit der gewünschten Eigenschaft.
Bemerkung: Der Beweis enthält einen Fehler. Findest du ihn und kannst ihn beheben?
Man kann immer eine noch kleinere positive irrationale Zahl finden.
Die Wurzel aus 0,5 ist ein solches Beispiel.
Mir ist bei einigem Nachdenken ein einfacher Beweis dafür eingefallen. Nehmen wir an, es gäbe eine kleinste positive irrationale Zahl x. Dann ist x/2 auch irrational und kleiner als x. Da aber x die kleinste irrationale Zahl sein soll, geht das nicht. x/2 kann auch nicht rational sein, denn dann wäre 2*(x/2) auch rational. Das geht auch nicht. Also gibt es keine kleinste irrationale positive Zahl.
Wenn man sich auf natürliche Zahlen beschränken muss : Natürlich
.
aber so kann man weiter kommen
0.1*0.1 = 0.01
dann ist wurzel(0.02) = wurzel( (0.1)² * 2 ) = 0.1 * wurzel(2)
und ist die irrational , oder ist sie es nicht :))
Ne du kannst ja auch die Wurzel von Zahlen kleiner 2 nehmen.
Was ist mit der Wurzel aus 1,8 …
Es ist 1,8 = 3^2 * 5^(-1).
Weil in dieser Primfaktordarstellung ein ungerader Exponent auftritt, ist die Wurzel irrational.
Sag’ mir Deine kleinste positive irrationale Zahl und ich multipliziere sie mit 0,1 und habe eine kleinere.