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Hallo Ccccc04,

die Geschwindigkeit des Reisenden kann nicht c betragen haben.

Nicht, weil das physikalisch nicht möglich ist, immerhin kann man sich c theoretisch beliebig annähern; Teilchen in Teilchenbeschleunigern erreichen ja tatsächlich Tempos, die sich von c kaum mehr unterscheiden lassen.

Allerdings hat laut Lösung der Reisende immerhin Δτ = 27 Jahre Eigenzeit erlebt. Gegenüber den Δt = 45 Jahren Erd- Koordinatenzeit, die eine erdgebundene Uhr dafür misst, ist das zwar ziemlich wenig, aber es ist eben nicht 0.

Wie schnell er gewesen sein muss, lässt sich berechnen, indem man die Formel

(1) Δt⁄Δτ = γ := 1/√{1 − β²}   mit β := v⁄c

nach β auflöst. Dabei ergibt sich

(2) β = √{1 − 1⁄γ²},

wobei in unserem Fall γ = 45⁄27 = 5⁄3 und daher 1⁄γ² = 9⁄25 ist. Setzen wir dies ein, so ergibt sich β = √{16⁄25} = ⅘ = 0,8.

Der Reisende muss also mit 80% der Lichtgeschwindigkeit oder besser des Lichttempos unterwegs gewesen sein.

Warum Δτ statt Δt’?

Es gibt hier zwei Uhren: Eine Uhr U auf der Erde und eine Uhr Ώ (nach gr. ώρα “Stunde”) an Bord. Δτ ist die für die gesamte Reise von Ώ gemessene Zeit, die Eigenzeit eben.

Allerdings ist die Geschwindigkeit von Ώ relativ zur Erde nicht die ganze Zeit über konstant. Wenn wir die Bewegungsrichtung von Ώ auf dem Hinweg der Einfachheit halber als x-Richtung des Koordinatensystems S bezeichnen, ändert sich die 1D-Geschwindigkeit von Ώ in der Mitte der Reise von vₓₕ = +0,8c auf vₓᵣ = −0,8c.

Das Tempo (engl. speed) ist dasselbe, nicht aber die Geschwindigkeit (engl. velocity), weil die Richtung sich in der Zwischenzeit umgekehrt hat.

In der Lösung ist von zwei Koordinatensystemen S und S’ die Rede, und das würde bedeuten, dass S’ ein Nichtinertialsystem wäre, eines, in dem (nämlich bei der Umkehr) Trägheitskräfte auftreten, die wie eine Art universelles Gravitationsfeld behandelt werden müssten, das sich im Moment der Umkehr einschaltet. Um so ein Koordinatensystem als gleichberechtigt zu S zu beschreiben, müssten wir Allgemeine Relativitätstheorie (ART) betreiben.

In der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) sind (ebenso wie übrigens auch in der NEWTONschen Mechanik (NM)) nur Inertialsysteme gleichwertig, respektive Koordinatensysteme, die auf dieselbe Art von Inertialsystemen abweichen. Und dann brauchen wir allein für den Reisenden zwei Inertialsysteme S’ und S”:

• In S’ bewegt sich die Erde mit −0,8c. Der Reisende bleibt zunächst in Ruhe, muss dann aber die Erde mit −0,976c*) einholen.
• In S” bewegt sich die Erde mit +0,8c. Der Reisende beschleunigt auf +0,976c und eilt ihr voraus, bis er den fremden Planeten eingeholt hat. Dann lässt er den sausen und wartet auf die Erde.

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*) Ergibt sich aus dem Additionstheorem für Geschwindigkeiten. Bewegt sich B relativ zu A mit v und C relativ zu B mit u’, so bewegt sich C relativ zu A mit

u = (v + u’)/(1 + vu’⁄c²).