Hilfe zu nullstellen?
Hallooo, ich habe momentan Kurven Diskussion in Mathe (bin 11. klasse) und ich verstehe was nicht. Wenn wir die nullstellen einer Funktion rausfinden sollen, nehmen wir z.B. -0.5x^3-x. Ich habe diese null gesetzt und dann aufgelöst: x1=0 und x2=wurzel2. Jetzt steht in den Lösungen dass es x3=-wurzel2 noch gibt. Wie genau findet man raus dass es ingesamt drei oder mehr x Punkte gibt. Liebe Grüße (übrigens falls es jemand nicht versteht, x^3 = xhoch3 🙂
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Wenn du Quadratwurzeln ziehst, dann erhältst du zwei Lösungen. Bei der Ersten steht ein Plus vor der Wurzel und bei der Zweiten ein Minus. Das liegt daran, dass x² = (-x)² gilt. Das gilt für jegliche ganze Zahlen und nicht nur 2, die Vielfache von 2 sind.
Zu deiner Aufgabe:
-0.5x³ – x = 0
x(-0.5x² – 1) = 0
x1 = 0
-0.5x² = 1
x² = -2
x2 = 1.41i
x3 = -1.41i
Deine Gleichung hat nur eine reelle Lösung und zwei komplexe.
Aber zb. Bei vielen x^3 Funktionen wo keine wurzel rauskommt, sind auch oft drei x Punkte. Zum Beispiel hatte ich einmal x1= 3 x2=0 x3=-3. warum ?
Das liegt daran, dass diese Funktionen dritten Grades sind. Eine Funktion dritten Grades kann zwei Extrempunkte haben und somit maximal drei Nullstellen.
wenn du x^3 = 0 nach x auflöst, dann ist 0 eine vielfache (dreifache) Lösung, da 0 den Exponenten 3 hat
Der Vorzeichenfehler in deiner Frage ist die Ursache dafür, dass diese Antwort nicht passt.
(Jetzt mal angenommen, dass deine Mathematik richtig ist, ich habe es nicht durchgerechnet.)
Nullstellen gibt es immer so viele, wie es Lösungen zu [Funktionsgleichung]=0 gibt. Dabei ist zu beachten, dass der Taschenrechner manchmal mehr Lösungen rausbekommt als es eigentlich gibt, da er bei asymptotischen Annäherungen an die x-Achse irgendwann anfängt zu runden und sehr kleine x-Werte dann als x=0 herauskommen. Aber das ist ja hier nicht passiert.
Bei dir kommen einfach nur drei Lösungen heraus:
Konkret hast du selbst null und Wurzel 2 herausbekommen. Wenn du eine Wurzel aus etwas ziehst, hast du aber immer zwei Ergebnisse – einmal positiv und einmal negativ. Der Grund dafür ist recht simpel. Wenn du Wurzel von 4 nimmst, dann kannst du die einmal erreichen, indem du zwei quadrierst und indem du minus zwei quadrierst. Wenn wir das aufschreiben, würde das dann so dastehen:
Würde man jetzt die Wurzel überall ziehen, würde das bedeuten:
2 ist aber nunmal nicht -2, deshalb schreiben wir, wenn wir eine Wurzel haben deshalb immer noch hin, dass wir einmal das positive Ergebnis, also Wurzel 2 und das negative Ergebnis, also Wurzel -2 haben. Das sieht dann auch direkt besser aus, weil dann auch im hilfsmittelfreien Teil drei Ergebnisse für x dastehen, ohne, dass du Wurzel 2, was ja eine irrationale Zahl ist, weiter ausrechnen müsstest.
Außerdem vergisst man es schnell, wenn man es nicht nochmal hinschreibt und beim Extremstellenbestimmen muss man ja weiterrechnen mit den Werten, daher ist es schon auch für dich selbst sinnvoll, das dazuzuschreiben.
-0.5x³ + x = 0
x•(-0,5x² + 1) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden:
x1 = 0
-0,5x² + 1 = 0 │-1
-0,5x² = -1 │•(-2)
x² = 2 │√
x = ±√2
x2 = √2
x3 = -√2
Ja aber warum sind manche Punkte einmal negativ und positiv ? Bei jemand anderen habe ich jzt gelernt dass das bei Wurzeln immer so ist aber das ist ja auch Mega oft bei Dezimalzahlen sl
2^2 = 4
(-2)^2 = 4
Daher wird ein Plus und ein Minus vor die Wurzel geschrieben, da 4^0.5 zwar 2 ist, aber theoretisch auch -2
Wie können Punkte positiv und negativ sein? Du müsstest dich präziser und richtig ausdrücken, damit man dir helfen kann