Hilfe bei Physik, Halbwertszeit, Relativitätstheorie?

Hallo mal1efrage,

die Relativitätstheorie hat ihren Namen von GALILEIs Relativitätsprinzip (RP), das aussagt, dass man von zwei relativ zueinander geradlinig-gleichförmig bewegten Uhren U und U’ jede als ruhend bzw. stationär ansehen kann:

In einem von U aus definierten Koordinatensystem Σ (‘Laborsystem’) ist natürlich U stationär, und U’ bewegt sich mit Δx⁄Δt = v = β∙c (man kann Σ immer so ausgerichtet denken, dass die x-Richtung gerade die Bewegungsrichtung von U’ ist).

In einem von U’ aus definierten und räumlich wie Σ ausgerichteten Koordinatensystem Σ’ bewegt sich U’ nicht, und U bewegt sich mit Δx’⁄Δt’ = −β∙c.

In Σ betrachtet geht nun U’ um den berühmten LORENTZ-Faktor

(1) γ := 1/√{1 − β²}

langsamer: Angenommen U’ sendet zu den von U’ angezeigten Zeiten t’₁ und t’₂ und damit im zeitlichen Abstand Δt’ = t’₂ − t’₁ (Eigenzeit) zwei Signale mit Zeitstempel aus, und die werden von U aufgefangen. Unter der Annahme, dass U stationär ist, ergibt sich die Zeitspanne

(2) Δt = t₂ − t₁ = γ∙Δt’

(Σ- Koordinatenzeit). Wenn wir uns U’ als mit den Pionen mitbewegte Uhr vorstellen, ist β = 1 − 5×10⁻⁵ und damit β² ≈ 1 − 10⁻⁴; damit ist γ ≈ 10², also ca. 100. Die Pionen- Halbwertszeit ist in Σ also um das Hundertfache länger als in Σ’, also 18∙10⁻⁷ s.

Dementsprechend kommen die Pionen in dieser Zeit (also bis die Hälfte von ihnen zerfallen ist) 100 mal weiter als man ohne die “Zeitdilatation” erwarten würde, nämlich 540 m statt nur 5,40 m.

In Σ’ stellt sich dies anders dar, denn hier werden ja die Pionen (so wie U’) als stationär beschrieben. Das Ende einer Laufstrecke kommt also mit β∙c auf U’ zu, was bedeutet, dass eine gegebene Strecke in x’-Richtung, die in Σ die Länge d hat, in Σ’ nur die Länge d’ = d/γ hat. Im Ruhesystem eines relativ zu den Pionen ruhenden Beobachters wäre eine im Laborsystem 100m messende Laufstrecke nur mehr 1m lang.

Das heißt übrigens nicht, dass sie aus der Sicht eines relativ zu U’ ruhenden Beobachters auch kürzer aussähe. Tatsächlich sieht sie sogar länger aus: Der Beobachter sieht einen Körper, der auf ihn zukommt, ja nicht da, wo er in dem Moment gerade ist, sondern in einer um den Faktor 1/(1 − β) größeren Entfernung, weil das Licht vom Körper zu ihm ja Zeit braucht.

Das zuletzt erwähnte Phänomen wird “Längenkontraktion” genannt und ist ebenso wie die “Zeitdilatation” ein Nebeneffekt der Relativität der Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse.