Habe ich Aufgabe 5 richtig gelöst (Mathe)?

a)

Nicht korrekt.

i |z| = konj(z)

i |a + b i| = konj(a + b i)

i √(a² + b²) = a – b i

–(a² + b²) = a² – 2 a b i – b²

0 = 2 a² – 2 a b i

0 = 2 a (a – b i)

0 = 2 Re(z) konj(z)

Das ist nur für Re(z) = 0 oder konj(z) = 0 der Fall. Die Menge besteht also aus der Realachse.

b)

Nicht korrekt.

1 – i Im(1 / z) = z

1 – i Im(1 / (a + b i)) = a + b i

1 – i Im((a – b i) / (a² + b²)) = a + b i

1 – i (–b i) / (a² + b²) = a + b i

1 – b / (a² + b²) = a + b i

Links steht ein realer Term, links ein allgmein nicht zwingend realer. Daher muss b = 0 sein und wir erhalten 1 = a. Die Menge besteht also nur aus der Zahl 1.

c)

|z| > |z + 1|

|a + b i| > |a + b i + 1|

√(a² + b²) > √((a + 1)² + b²)

a² + b² > (a + 1)² + b²

a² > (a + 1)²

0 > 2 a + 1

–1/2 > a

Die Menge besteht also aus allen Zahlen a + b i mit a < –1/2. In der Gaußschen Zahlenebene entspricht dies einer unendlich großen Fläche links des Ursprungs, die durch die Gerade, die parallel der Imaginärachse ist und durch die Zahl z = –1/2 läuft, beschränkt ist (die Gerade selbst gehört nicht zur Menge).