Gleichungen auflösen?

Die grundlegende Vorgehensweise beim Lösen solcher linearer Gleichungen ist, mit Äquivalenzumformungen „alles mit x“ auf die eine Seite zu sortieren und „alles ohne x“ auf die andere Seite zu sortieren.

Wenn man also alles „mit x“ auf die linke Seite und alles „ohne x“ auf die rechte Seite sortieren möchte…

• Auf der linken Seite steht 4x als etwas „mit x“. Das kann zunächst auf der linken Seite bleiben.
• Auf der linken Seite steht auch der Summand „10“ als etwas „ohne x“. Das wird auf die rechte Seite sortiert.
• Auf der rechten Seite steht der Summand „5x“ als etwas „mit x“. Das wird auf die linke Seite sortiert.
• Auf der rechten Seite steht auch der Summand „-26“ als etwas „ohne x“. Das kann zunächst auf der rechten Seite bleiben.

Dabei finde ich es übrigens hilfreich, wenn man sich die Subtraktion als Addition einer negativen Zahl denkt. Statt das also als…



… zu sehen, würde ich das eher als…



… sehen. Dann wirst du beim Umformen evtl. weniger Fehler machen.

Jetzt muss man beim Sortieren Terme „auf die andere Seite werfen“. Die Terme sind jedoch mit einer gewissen Rechenoperation an den Rest gebunden. Dementsprechend muss man die Terme, die man rüberwerfen möchte, zunächst vom Rest lösen, indem man die entsprechende Gegenoperation durchführt. Die Gegenoperation zur Addition ist die Subtraktion. Dementsprechend wird man hier beim Sortieren meist den entsprechenden Term subtrahieren müssen, wenn dieser per Addition an den Rest gebunden ist.

Nun soll also 5x auf die linke Seite sortiert werden. Das ist additiv mit dem (-26) verknüpft. Die Gegenoperation zur Addition mit 5x ist es, 5x zu subtrahieren. Außerdem soll die 10 auf die rechte Seite sortiert werden. Diese ist additiv mit derm 4x verbunden. Die Gegenoperation zur Addition mit 10 ist es, die 10 zu subtrahieren.







Nun kann man 4x – 5x zu -1x bzw. –x zusammenfassen. (Analog zu 4 – 5 = -1, nur mit x dahinter.) Und -26 -10 kann man zu -36 zusammenfassen.



Nun möchte man x allein stehen haben. Dementsprechend stört das Minus davor. Um dieses wegzubekommen, kann man einfach auf beiden Seiten der Gleichung das Vorzeichen ändern. [Bzw. könnte man das auch als Äquivalenzumformung mit Multiplikation mit -1 sehen. Denn Multiplikation mit -1 bewirkt genau das: Ändern des Vorzeichens.]





Fertig.

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Hier nochmal zusammenfassend zusammengeschrieben…







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Statt alles mit x auf die linke Seite und alles ohne x auf die rechte Seite zu sortieren, könnte man aber auch umgekehrt alles mit x auf dir rechte Seite und alles ohne x auf die linke Seite sortieren. Das geht genauso.