Erzeugendensystem, Polynome (Uni Mathe)?

Nicht linear unabhängig:

Also sind diese Polynome linear abhängig.

Nicht erzeugend:

Das linke Polynom ist das einzige, das Polynome ersten Grades erzeugen könnte. Aber beispielsweise gilt:



Also gibt es mindestens ein Polynom ersten Grades, das nicht von diesem Polynom erzeugt wird. Also werden nicht alle Elemente in

von M erzeugt. Somit ist M kein Erzeugendensystem.

Zu g):

Offensichtlich hat jede symmetrische 2 x 2-Matrix folgende Gestalt:

Dadurch ist eine solche Matrix durch genau drei reelle Parameter eindeutig bestimmt, und kann beispielsweise mit folgendem Isomorphismus auf einen reellen Vektor der Länge 3 abgebildet werden:

Deshalb istBilde nun eine 3 x 3-Matrix mit den Bildern der Matrizen in der linken, oberen Menge unter diesem Isomorphismus, und betrachte ihren Rang:

Also sind diese drei Matrizen linear unabhängig und bilden eine Basis von V.

Exakt. Das sind keine Teilmengen von V, können also auch keine Basen sein.

Die Menge links unten ist linear abhänging (schau Dir die erste und dritte Matrix an), also auch keine Basis.

Die Menge links oben ist tatsächlich eine Basis von V. Um das zu sehen kannst Du überlegen was dim(V) ist, und beweisen dass die drei Matrizen linear unabhängig sind. Wenn ich nachher Zeit habe kann es nochmal ausführlicher zeigen.

Zur g): Eine Basis ist eine Teilmenge von V. Welche der vier Mengen können schon aus diesem Grund keine Basen sein?