Dreiphasennetzaufgabe?

Aufgabe a)

Wende hier das Maschenstromverfahren an. Wähle die Maschen wie folgt:

M1: U1 -> Z12 -> Z23 -> U3 -> U1 (Strom I1)

M2: U2 -> Z23 -> U3 -> -> U2 (Strom I2)

M3: Z13 -> Z23 -> Z12 -> Z13 (Strom I3)

Durch die spezielle Wahl von M1, M2 und M3 gilt, dass der Maschenstrom I1 hier mit dem Strom I1 = IL1 aus dem ESB übereinstimmt, sowie IL2 = I2. Via “Brute Force” erhalten wir aus den Maschen- und Knotengleichungen:

(i) I1 = (2*U13 – U23)/Z

(ii) I2 = (2*U23 – U13)/Z

mit Ukm = Uk – Um. Wobei Z12 = Z23 = Z13 = Z. Die fetten Größen sind komplexe Größen. Wir erhalten somit für |Z| = Z:

(i) –> Z = |(2*U13 – U23)|/I1 = 3*U1/I1 = 959.1 Ohm (iii)

Ferner können wir mit (i) und (ii) die entsprechenden Scheinleistung für die Zweige bestimmen, welche durch die Watt-Meter überwacht werden. Es gilt:

(iv) P1 = Re{ S1 } = Re{ U13*conj(I1) } = (1.5*R + 0.5*sqrt(3)*wL)*(U13^2)/Z²

(v) P2 = Re{ S2 } = Re{ U23*conj(I2) } = (1.5*R – 0.5*sqrt(3)*wL)*(U23^2)/Z²

wobei für die induktive Last Z = R + j*wL gilt. Durch geschickte Addition bzw. Subtraktion von (iv) und (v) voneinander erhalten wir:

(iv) + (v) —-> (vi) P1 + P2 = 3*R*(U23^2)/Z²

(iv) – (v) —-> (vii) P1 – P2 = sqrt(3)*wL*(U23^2)/Z²

Aus (vi), (vii) und (iii) können wir dann R und wL von Z berechnen. Es folgt:

(viii) R = (P1 + P2)*Z²/(3*U23^2)

(ix) wL = (P1 – P2)*Z²/(sqrt(3)*U23^2)

und zusätzlich gilt für das Verhältnis wL/R = tan(Phi) = sqrt(3)*(P1 – P2)/(P1 + P2).

Aufgabe b)

Die gesamte von der Last verbrauchte Scheinleistung folgt direkt aus Summe der Scheinleistungen der einzelnen Zweige zu

SLast = 3*(U12^2)/(R – jwL) = 3*(U12^2)*(R + jwL)/(R² + (wL)²)

Damit folgt die von der Last verbrauchte Scheinleistung zu

QLast = Im{ SLast } = 3*(U12^2)*wL/(R² + (wL)²)

Wähle als Kompensationselemente Kondensatoren, da diese Scheinleistung bereitsstellen (negative Scheinleistung verbrauchen). Die zugehörige Impedanz ist

Zc = 1/(jwC)

Die “verbrauchte” Blindleistung des Kompensators berechnet sich damit zu

Qc = (-3)*U1²*wC

Aus der geforderten Bedingung Qc + QLast = 0 erhalten wir damit durch Umformen

wC = QLast/(3*U1²)

Beachte, dass Pc = 0, da die Kondensatoren nur Blindleistung aufnehmen und damit

Sc = j*Qc

gilt.

Aufgabe c)

Wie in b) bereits erwähnt gilt Pc = 0. Damit folgt in der Leistungsbilanz

Pges = PLast + Pc = PLast (da Pc = 0 nach unserem Design in b))

Qges = Qc + QLast = 0 (da wir das in b) so designed haben)

Schließlich folgt für PLast hier:

PLast = 3*(U12^2)*R/Z²

Hiermit können wir die Außenleiterströme berechnen. Da lediglich Wirkleistung verbraucht wird (Qges = 0) müssen die Außenleiterströme jeweils die selbe Phasenlage wie die Leiterspannungen haben. Betragsmäßig folgt

Sges = 3*U1*IL1 = PLast

–> IL1 = PLast/(3*U1) = PLast/(sqrt(3)*U12)

Aufgrund der Symmetrie gilt IL1 = IL2 = IL3. Hinsichtlich der Phasenlage folgt entsprechend

arg(IL1) = arg(U1) = 0°

arg(IL2) = arg(U2) = -120°

arg(IL3) = arg(U3) = -240°

Aufgabe d)

Rechnerisch lassen sich die neuen Außenleiterströme direkt aus dem ESB bestimmen. Es folgt:

IL1′ = U1/Zc + U12/Z

IL2′ = U2/Zc + U23/Z + U21/Z

IL3′ = U3/Zc + U32/Z