Gibt es ein Polynom f, das zu dessen Ableitung f’ teilerfremd ist, wobei a1 = 0 (sodass beim Ableiten keine “Konstante” hinten über bleibt) ?
Denn, bspw. ist zu die Ableitung , wobei dann sowohl f als auch f’ von dem Polynom geteilt werden:
Irgendwas muss ich hier doch prinzipiell falsch verstehen…
Kontext:
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Loading...Hallo, Wie kann ich diese Rechung im Bezug auf den zweiten Strahlensatz in der Aufgabe lösen?
Woran erkenne ich welche Form welche ist? Warum ist f(x)=(x-1)²+2 Scheitelpunktform und warum ist f(x)=x²+6x-3 Polynomform?
Die Aufgabenstellung ist es, ein Briefumschlag Piktogramm mittig, in einem zufälligen Winkel zu platzieren. Der Mittelpunkt des Umschlags soll 0,0 sein. Höhe wie Breite ebenfalls zufällig, jedoch soll die Höhe immer kleiner wie die Breite sein. Danke schön im Voraus!
Kann mir bitte jemand erklären wie die Aufgabe 2 d) geht?
Wie mache ich diese Aufgabe ich bekomme für a keine richtige Zahl..
Hallo, kann mir bitte jemand erklären wie die Werte für die Lösung A zustande kommen. Danke im Voraus
Klar du musst (entsprechend dem, was du in der Aufgabe zeigen sollst) einfach darauf achten, dass das von dir betrachtete Polynom quadratfrei ist.
Beispiel:
Hier ist f teilerfremd zu f′. Und außerdem ist der Koeffizient a₁ (vor dem T¹) bei f gleich 0, wie du es wolltest. [Allerdings ist mir überhaupt nicht klar, warum du a₁ = 0 haben möchtest. Das hat nicht wirklich etwas mit der genannten Aufgabe zu tun.]
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Bei deinem Beispiel mit f = T³ + T² sind f und f’ nicht teilferfremd, sondern haben T als gemeinsamen Teiler. Das liegt (entsprechend dem, was du in der Aufgabe zeigen sollst) daran, dass f nicht quadratfrei ist, da man p = T findet, sodass p² ein Teiler von f ist, da T² ein Teiler von T³ + T² ist, da T³ + T² = T² ⋅ (T + 1) ist.
Ich Dummi habe a0 = 0 als Bedingung in der Frage wieder gelöscht, das muss aber natürlich dabei stehen.
Wenn a₀ = 0 und a₁ = 0 ist, hat man ein Polynom der Form…
f = aₙ Tⁿ + … + a₃ T³ + a₂ T²
Dann kann man immer ein T² ausklammern…
f = T² (aₙ Tⁿ⁻² + … + a₃ T + a₂)
Dann ist f nicht quadratfrei, da zu p = T dann p² ein Teiler von f ist.
Andererseits ist f dann auch nicht teilerfremd zu f′, da man T als gemeinsamen Teiler von f und f′ findet. [Das passt auch zur genannten Aufgabe im Bild. Denn f ist dann nicht quadratfrei und zugleich nicht teilerfremd zu f′.]
Also: Es gibt tatsächlich kein Polynom f mit a₀ = a₁ = 0, sodass f teilerfremd zu f′ wäre.
[Mir ist zwar immer noch nicht ganz klar, warum du ausgerechnet diesen Fall mit a₀ = a₁ = 0 betrachten möchtest. Aber… Sollte jetzt klar sein, oder?]
a1 muss gleich 0 sein, da man sonst beim Ableiten einen “konstanten” Wert bekommt. Und a0 muss gleich 0 sein, weil man sonst ja gar nicht durch T teilen kann.
Ja, klar.
Aber was mir unklar ist: Warum willst du beim Ableiten keinen Absolutteil („konstanten Wert“) haben? Warum willst du durch T teilen können?
Wenn du das so möchtest… OK. (Aber für die Aufgabe im Bild braucht man das nicht betrachten, falls du das meinst.)
Oohh, ich habe irgendwie ganz darüber hinweg gelesen, dass du hier ja T+1 als gemeinsamen Teiler gefunden hast! Damit wäre meine Annahme – die du in meinem etwas verwirrten Geschreibsel richtig interpretiert hast -, es seien alle Polynome außer solche mit a0=a1=0 zu ihren Ableitungen teilerfremd, ja widerlegt! Danke für die Geduld und die ausführlichen Erklärungen!
Zum Satz: Ich bin noch nicht so warm mit all den neuen Definitionen, die wir gerade lernen… ich kann mir Primelemente im Polynomring noch nicht wirklich vorstellen.
Polynome sind ja nicht nur dann nicht-teilerfremd zueinander, wenn man T als gemeinsamen Teiler findet. Man könnte ja auch ganz andere gemeinsame Teiler, wie beispielsweise T + 1 oder beispielsweise T² + 4 T + 7, als gemeinsame Teiler haben.
Richtig. Weil du ja auch in deinem Kommentar davor geschrieben hast…
Wenn du a0 = a1 = 0 ausschließt, bleiben noch die anderen Fälle übrig. Und a1 = 2 und a0 = 1 ist dann solch ein Fall.
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Dein Kommentar liest sich so, als würdest du denken, dass in den Fällen, wo nicht a0 = a1 = 0 ist, die Polynome f und f′ immer teilerfremd sind. Das wäre jedoch falsch, wie ich mit dem Beispiel mit a0 = 2 und a1 = 1 gezeigt habe.
Das ist ja aber nur ein kleiner Bruchteil aller Polynome, bei denen f und f′ nicht-teilerfremd sind. Es gibt ja noch weitaus mehr.
Weil wenn ich bei f und f’ durch T teilen kann, die Polynome halt direkt nicht-teilerfremd sind
Im Beispiel ist doch a1 = 2 und a0 = 1, was wäre ein Beispiel für ein Polynom mit a1=a0=0, wo f und f’ t.f. sind?
Nein! Wenn du den Fall a0 = a1 = 0 ausschließt, gibt es bei den übrigen Polynomen trotzdem weiterhin noch Polynome die nicht teilerfremd zu ihrer Ableitung sind.
Beispiel: f = T² + 2T + 1 ist nicht teilerfremd zu f’ = 2T + 2, da man T + 1 als gemeinsamen Teiler findet.
Naja, wenn ich diesen Fall a0=a1=0 ausschließe, habe ich ja die Aussage, dass ALLE Polynome zu ihren Ableitungen teilerfremd sind, und damit ist eine Aussage über Teilerfremdheit von Polynomen und ihren Ableitungen gar nicht mehr so spannend, weil das halt eh schon (fast) ALLE sind.
Da in der Voraussetzung kein a0 = 0 steht wäre z.B. das Polynom
p(t) = t³ – t² + 1
teilerfremd zu seiner Ableitung
p'(t) = 3t² – 2t
Oh Mann, hatte ursprünglich auch a0 = 0 stehen, und das dann irgendwie wieder weggemacht. a0 muss natürlich auch gleich 0 sein, sonst ist ja klar, dass ich gar keinen Teiler finde.
Das hat nur alles mit der Aufgabe nichts zu tun.
Falls ich deine Frage richtig verstanden habe, würde ich meinen, dass
f(x) = x^2 +1 und f´(x) = 2x teilerfremde Polynome sind.
Durch g(x) = 1 * x^0 sind natürlich alle Polynome teilbar.
Ich Dummi habe a0 = 0 als Bedingung in der Frage wieder gelöscht, das muss aber natürlich dabei stehen.
Wenn ich nur das Polynom 1*x^0 finde, dann ist 1 ja Element vom ggT und damit wären f und f’ per Definition teilerfremd.